原碼,補碼,反碼概念和計算方法詳解

今天由黑馬程序員老師給大家講解計算機的原碼，反碼和補碼。并且進行了深入探求了為何要使用反碼和補碼，以及更進一步的論證了為何可以用反碼，補碼的加法計算原碼的減法。

一、機器數(shù)和真值

在學習原碼，反碼和補碼之前，需要先了解機器數(shù)和真值的概念。

1、機器數(shù)

一個數(shù)在計算機中的二進制表示形式，叫做這個數(shù)的機器數(shù)。機器數(shù)是帶符號的，在計算機用一個數(shù)的最高位存放符號，正數(shù)為0，負數(shù)為1.

比如，十進制中的數(shù) +3 ，計算機字長為8位，轉換成二進制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，這里的 00000011 和 10000011 就是機器數(shù)。

2、真值

機器數(shù)的第一位是符號位，后邊才是真正的數(shù)值，所以機器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值。例如上面的有符號數(shù)10000011，其最高位1代表負，其真正數(shù)值是 -3 而不是形式值131（10000011轉換成十進制等于131）。所以，為區(qū)別起見，將帶符號位的機器數(shù)對應的真正數(shù)值稱為機器數(shù)的真值。

例：

0000 0001的真值 = +000 0001 = +1

1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

二、原碼，反碼，補碼的基礎概念和計算方法

在探求為何機器要使用補碼之前，讓我們先了解原碼，反碼和補碼的概念。對于一個數(shù)，計算機要使用一定的編碼方式進行存儲。 原碼，反碼，補碼是機器存儲一個具體數(shù)字的編碼方式。

1. 原碼

原碼就是符號位加上真值的絕對值，即用第一位表示符號，其余位表示值。比如如果是8位二進制：

[+1]（原碼） = 0000 0001

[-1]（原碼） = 1000 0001

第一位是符號位。因為第一位是符號位，所以8位二進制數(shù)的取值范圍就是：

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式。

2. 反碼

反碼的表示方法是: 正數(shù)的反碼是其本身，負數(shù)的反碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其余各個位取反。

[+1] = [00000001]（原碼）= [00000001]（反碼）

[-1] = [10000001]（原碼）= [11111110]（反碼）

可見如果一個反碼表示的是負數(shù)，人腦無法直觀的看出來它的數(shù)值。通常要將其轉換成原碼再計算。

3. 補碼

補碼的表示方法是：正數(shù)的補碼就是其本身，負數(shù)的補碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其余各位取反，最后+1 (即在反碼的基礎上+1)。

[+1] = [00000001]（原碼） = [00000001]（反碼） = [00000001]（補碼）

[-1] = [10000001]（原碼） = [11111110]（反碼） = [11111111]（補碼）

對于負數(shù)，補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數(shù)值的。通常也需要轉換成原碼在計算其數(shù)值。

三、為何要使用原碼，反碼和補碼

在開始深入學習前，我的學習建議是先"死記硬背"上面的原碼，反碼和補碼的表示方式以及計算方法。

現(xiàn)在我們知道了計算機可以有三種編碼方式表示一個數(shù)。對于正數(shù)因為三種編碼方式的結果都相同:

[+1] = [00000001]（原碼） = [00000001]（反碼） = [00000001]（補碼）

所以不需要過多解釋. 但是對于負數(shù):

[-1] = [10000001]（原碼） = [11111110]（反碼） = [11111111]（補碼）

可見原碼, 反碼和補碼是完全不同的。既然原碼才是被人腦直接識別并用于計算表示方式。為何還會有反碼和補碼呢?

首先, 因為人腦可以知道第一位是符號位，在計算的時候我們會根據符號位, 選擇對真值區(qū)域的加減 (真值的概念在本文最開頭)。但是對于計算機，加減乘數(shù)已經是最基礎的運算，要設計的盡量簡單。計算機辨別"符號位"顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分復雜! 于是人們想出了將符號位也參與運算的方法。我們知道，根據運算法則減去一個正數(shù)等于加上一個負數(shù)，即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 ，所以機器可以只有加法而沒有減法，這樣計算機運算的設計就更簡單了。

于是人們開始探索，將符號位參與運算，并且只保留加法的方法。首先來看原碼：

計算十進制的表達式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原碼表示, 讓符號位也參與計算, 顯然對于減法來說, 結果是不正確的.這也就是為何計算機內部不使用原碼表示一個數(shù)。

為了解決原碼做減法的問題，出現(xiàn)了反碼：

計算十進制的表達式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

發(fā)現(xiàn)用反碼計算減法，結果的真值部分是正確的。而唯一的問題其實就出現(xiàn)在"0"這個特殊的數(shù)值上。雖然人們理解上+0和-0是一樣的，但是0帶符號是沒有任何意義的。而且會有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個編碼表示0。

于是補碼的出現(xiàn)，解決了0的符號以及兩個編碼的問題:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]補 + [1111 1111]補 = [0000 0000]補=[0000 0000]原

這樣0用[0000 0000]表示, 而以前出現(xiàn)問題的-0則不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]補 + [1000 0001]補 = [1000 0000]補

-1-127的結果應該是-128，在用補碼運算的結果中，[1000 0000]補 就是-128。但是注意因為實際上是使用以前的-0的補碼來表示-128，所以-128并沒有原碼和反碼表示 (對-128的補碼表示[1000 0000]補算出來的原碼是[0000 0000]原，這是不正確的)。

使用補碼，不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題，而且還能夠多表示一個最低數(shù). 這就是為什么8位二進制，使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127]，而使用補碼表示的范圍為[-128, 127]。推薦了解C++培訓課程。

因為機器使用補碼，所以對于編程中常用到的32位int類型，可以表示范圍是: [-231, 231-1] 因為第一位表示的是符號位.而使用補碼表示時又可以多保存一個最小值。