原碼反碼補(bǔ)碼分別是什么？原碼反碼補(bǔ)碼如何相互轉(zhuǎn)換？

本文將介紹計(jì)算機(jī)的原碼、反碼和補(bǔ)碼，并且進(jìn)行了深入探求了為何要使用反碼和補(bǔ)碼，以及更進(jìn)一步的論證了為何可以用反碼，補(bǔ)碼的加法計(jì)算原碼的減法。

一、機(jī)器數(shù)和真值

在學(xué)習(xí)原碼、反碼和補(bǔ)碼之前，需要先了解機(jī)器數(shù)和真值的概念。

1、機(jī)器數(shù)

一個(gè)數(shù)在計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制表示形式，叫做這個(gè)數(shù)的機(jī)器數(shù)。機(jī)器數(shù)是帶符號(hào)的，在計(jì)算機(jī)用一個(gè)數(shù)的最高位存放符號(hào)，正數(shù)為0，負(fù)數(shù)為1.

比如，十進(jìn)制中的數(shù) +3 ，計(jì)算機(jī)字長為8位，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，這里的 00000011 和 10000011 就是機(jī)器數(shù)。

2、真值

機(jī)器數(shù)的第一位是符號(hào)位，后邊才是真正的數(shù)值，所以機(jī)器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值。例如上面的有符號(hào)數(shù)10000011，其最高位1代表負(fù)，其真正數(shù)值是 -3 而不是形式值131(10000011轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制等于131)。所以，為區(qū)別起見，將帶符號(hào)位的機(jī)器數(shù)對(duì)應(yīng)的真正數(shù)值稱為機(jī)器數(shù)的真值。

例：

0000 0001的真值 = +000 0001 = +1

1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

二、原碼、反碼、補(bǔ)碼的基礎(chǔ)概念和計(jì)算方法

在探求為何機(jī)器要使用補(bǔ)碼之前，讓我們先了解原碼，反碼和補(bǔ)碼的概念。對(duì)于一個(gè)數(shù)，計(jì)算機(jī)要使用一定的編碼方式進(jìn)行存儲(chǔ)。 原碼，反碼，補(bǔ)碼是機(jī)器存儲(chǔ)一個(gè)具體數(shù)字的編碼方式。

1. 原碼

原碼就是符號(hào)位加上真值的絕對(duì)值，即用第一位表示符號(hào)，其余位表示值。比如如果是8位二進(jìn)制：

[+1](原碼) = 0000 0001

[-1](原碼) = 1000 0001

第一位是符號(hào)位。因?yàn)榈谝晃皇欠?hào)位，所以8位二進(jìn)制數(shù)的取值范圍就是：

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

原碼是人腦最容易理解和計(jì)算的表示方式。

2. 反碼

反碼的表示方法是: 正數(shù)的反碼是其本身，負(fù)數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上，符號(hào)位不變，其余各個(gè)位取反。

[+1] = [00000001](原碼)= [00000001](反碼)

[-1] = [10000001](原碼)= [11111110](反碼)

可見如果一個(gè)反碼表示的是負(fù)數(shù)，人腦無法直觀的看出來它的數(shù)值。通常要將其轉(zhuǎn)換成原碼再計(jì)算。

3. 補(bǔ)碼

補(bǔ)碼的表示方法是：正數(shù)的補(bǔ)碼就是其本身，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其原碼的基礎(chǔ)上，符號(hào)位不變，其余各位取反，最后+1 (即在反碼的基礎(chǔ)上+1)。

[+1] = [00000001](原碼) = [00000001](反碼) = [00000001](補(bǔ)碼)

[-1] = [10000001](原碼) = [11111110](反碼) = [11111111](補(bǔ)碼)

對(duì)于負(fù)數(shù)，補(bǔ)碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數(shù)值的。通常也需要轉(zhuǎn)換成原碼在計(jì)算其數(shù)值。

三、為何要使用原碼，反碼和補(bǔ)碼

在開始深入學(xué)習(xí)前，我的學(xué)習(xí)建議是先"死記硬背"上面的原碼，反碼和補(bǔ)碼的表示方式以及計(jì)算方法。

現(xiàn)在我們知道了計(jì)算機(jī)可以有三種編碼方式表示一個(gè)數(shù)。對(duì)于正數(shù)因?yàn)槿N編碼方式的結(jié)果都相同:

[+1] = [00000001](原碼) = [00000001](反碼) = [00000001](補(bǔ)碼)

所以不需要過多解釋. 但是對(duì)于負(fù)數(shù):

[-1] = [10000001](原碼) = [11111110](反碼) = [11111111](補(bǔ)碼)

可見原碼, 反碼和補(bǔ)碼是完全不同的。既然原碼才是被人腦直接識(shí)別并用于計(jì)算表示方式。為何還會(huì)有反碼和補(bǔ)碼呢?

首先, 因?yàn)槿四X可以知道第一位是符號(hào)位，在計(jì)算的時(shí)候我們會(huì)根據(jù)符號(hào)位, 選擇對(duì)真值區(qū)域的加減 (真值的概念在本文最開頭)。但是對(duì)于計(jì)算機(jī)，加減乘數(shù)已經(jīng)是最基礎(chǔ)的運(yùn)算，要設(shè)計(jì)的盡量簡單。計(jì)算機(jī)辨別"符號(hào)位"顯然會(huì)讓計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)電路設(shè)計(jì)變得十分復(fù)雜! 于是人們想出了將符號(hào)位也參與運(yùn)算的方法。我們知道，根據(jù)運(yùn)算法則減去一個(gè)正數(shù)等于加上一個(gè)負(fù)數(shù)，即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 ，所以機(jī)器可以只有加法而沒有減法，這樣計(jì)算機(jī)運(yùn)算的設(shè)計(jì)就更簡單了。

于是人們開始探索，將符號(hào)位參與運(yùn)算，并且只保留加法的方法。首先來看原碼：

計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原碼表示, 讓符號(hào)位也參與計(jì)算, 顯然對(duì)于減法來說, 結(jié)果是不正確的.這也就是為何計(jì)算機(jī)內(nèi)部不使用原碼表示一個(gè)數(shù)。

為了解決原碼做減法的問題，出現(xiàn)了反碼：

計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

發(fā)現(xiàn)用反碼計(jì)算減法，結(jié)果的真值部分是正確的。而唯一的問題其實(shí)就出現(xiàn)在"0"這個(gè)特殊的數(shù)值上。雖然人們理解上+0和-0是一樣的，但是0帶符號(hào)是沒有任何意義的。而且會(huì)有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個(gè)編碼表示0。

于是補(bǔ)碼的出現(xiàn)，解決了0的符號(hào)以及兩個(gè)編碼的問題:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]補(bǔ) + [1111 1111]補(bǔ) = [0000 0000]補(bǔ)=[0000 0000]原

這樣0用[0000 0000]表示, 而以前出現(xiàn)問題的-0則不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]補(bǔ) + [1000 0001]補(bǔ) = [1000 0000]補(bǔ)

-1-127的結(jié)果應(yīng)該是-128，在用補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果中，[1000 0000]補(bǔ)就是-128。但是注意因?yàn)閷?shí)際上是使用以前的-0的補(bǔ)碼來表示-128，所以-128并沒有原碼和反碼表示 (對(duì)-128的補(bǔ)碼表示[1000 0000]補(bǔ)算出來的原碼是[0000 0000]原，這是不正確的)。

使用補(bǔ)碼，不僅僅修復(fù)了0的符號(hào)以及存在兩個(gè)編碼的問題，而且還能夠多表示一個(gè)最低數(shù)。這就是為什么8位二進(jìn)制，使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127]，而使用補(bǔ)碼表示的范圍為[-128, 127]。推薦了解C++培訓(xùn)課程。

因?yàn)闄C(jī)器使用補(bǔ)碼，所以對(duì)于編程中常用到的32位int類型，可以表示范圍是: [-231, 231-1] 因?yàn)榈谝晃槐硎镜氖欠?hào)位，而使用補(bǔ)碼表示時(shí)又可以多保存一個(gè)最小值。

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